Ordinary Kriging vs Indicator Kriging dalam Estimasi Sumber Daya

Ringkasan Eksekutif

Artikel teknis ini menyediakan perbandingan komprehensif antara Ordinary Kriging (OK) dan Indicator Kriging (IK), dua metode geostatistik fundamental yang digunakan dalam estimasi sumber daya mineral. Ordinary Kriging menghasilkan nilai estimasi terbaik tunggal untuk atribut model blok dengan menghitung rata-rata tertimbang dari titik data sekitarnya, dengan bobot yang ditentukan untuk meminimalkan kesalahan estimasi [1]. Indicator Kriging, sebaliknya, menghasilkan fungsi frekuensi kumulatif yang memetakan cutoff ke estimasi kriging indikator, menyediakan distribusi probabilitas daripada nilai tunggal [2].

Artikel ini menyajikan panduan implementasi terperinci untuk kedua metode dalam perangkat lunak GEOVIA Surpac, termasuk navigasi menu lengkap, spesifikasi parameter, dan opsi konfigurasi. Glosarium komprehensif istilah teknis mendukung praktisi dalam memahami fondasi matematis dan aplikasi praktis dari metode-metode ini. Kedua teknik berbagi metodologi pencarian umum dan parameter pemilihan sampel tetapi berbeda secara fundamental dalam pendekatan transformasi data, jenis output, dan kesesuaian untuk distribusi data dan tujuan estimasi yang berbeda [1], [2].

1. Pendahuluan

Metode estimasi geostatistik membentuk tulang punggung evaluasi sumber daya mineral modern, menyediakan pendekatan yang ketat secara matematis untuk interpolasi nilai kadar antara titik sampel. Di antara metode-metode ini, Ordinary Kriging dan Indicator Kriging mewakili dua pendekatan yang berbeda namun saling melengkapi untuk estimasi spasial.

Ordinary Kriging telah lama menjadi standar industri untuk menghasilkan estimasi model blok, menawarkan Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) yang menghasilkan nilai tunggal untuk setiap blok sambil meminimalkan varians estimasi [1]. Metode ini bekerja langsung dengan nilai sampel mentah dan mengasumsikan distribusi spasial yang relatif kontinu dari variabel yang diminati.

Indicator Kriging mengambil pendekatan yang secara fundamental berbeda dengan mentransformasi data kontinu menjadi indikator biner berdasarkan beberapa nilai ambang batas (cutoff) [2]. Transformasi ini membuat IK sangat berharga ketika berhadapan dengan distribusi yang miring, populasi ganda, atau ketika tujuan utamanya adalah untuk memperkirakan probabilitas melebihi ambang batas kadar yang signifikan secara ekonomis daripada memperkirakan nilai kadar secara langsung.

Artikel ini menyediakan profesional pertambangan, geostatistik, dan geolog sumber daya dengan referensi teknis komprehensif untuk memahami, mengimplementasikan, dan membedakan antara kedua metode kriging ini. Dengan menyajikan fondasi teoritis, perbandingan terperinci, dan panduan implementasi langkah-demi-langkah untuk Surpac, dokumen ini bertujuan untuk meningkatkan kualitas dan keandalan estimasi sumber daya mineral.

2. Fondasi Teoritis

2.1 Fundamental Ordinary Kriging

Ordinary Kriging adalah metode estimasi geostatistik yang menghasilkan nilai estimasi terbaik tunggal untuk atribut model blok dengan menghitung rata-rata tertimbang dari titik data sekitarnya [1]. Metode ini didasarkan pada beberapa prinsip matematika dan asumsi statistik kunci:

2.1.1 Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)

Ordinary Kriging dirancang untuk menjadi estimator linear terbaik yang tidak bias [1]:

Linear: Estimasi adalah kombinasi linear (rata-rata tertimbang) dari nilai sampel
Tidak Bias (Unbiased): Nilai yang diharapkan dari kesalahan estimasi adalah nol
Terbaik (Best): Metode ini meminimalkan varians kesalahan estimasi

2.1.2 Asumsi Stasioneritas

Ordinary Kriging mengasumsikan stasioneritas intrinsik, yang berarti [1]:

Mean dari variabel tidak diketahui tetapi konstan di seluruh area studi
Varians dari perbedaan antara dua nilai hanya bergantung pada jarak dan arah pemisahan mereka, bukan pada lokasi absolut mereka

2.1.3 Minimisasi Varians

Bobot kriging ditentukan dengan memecahkan sistem persamaan yang meminimalkan varians estimasi sambil mempertahankan kondisi tidak bias [1]. Ini melibatkan:

Pengaturan jumlah bobot sama dengan 1 (kondisi tidak bias)
Minimisasi varians estimasi
Penggunaan pengali Lagrange untuk menggabungkan kendala

2.1.4 Model Variogram

Variogram adalah alat fundamental yang menggambarkan bagaimana variabilitas spasial berubah dengan jarak [1]. Ini mendefinisikan:

Nugget Effect: Variabilitas pada jarak nol, mewakili kesalahan pengukuran dan variabilitas skala mikro
Sill: Tingkat variabilitas maksimum yang dicapai pada jarak yang lebih besar
Range: Jarak di mana variabilitas mencapai sill, menunjukkan batas korelasi spasial

2.2 Fundamental Indicator Kriging

Indicator Kriging adalah metode geostatistik yang mentransformasi data kontinu menjadi variabel indikator biner dan memperkirakan fungsi distribusi kumulatif daripada nilai tunggal [2]. Pendekatan ini menawarkan keuntungan yang berbeda untuk distribusi data tertentu dan tujuan estimasi.

2.2.1 Transformasi Indikator

Proses transformasi indikator adalah inti dari metode ini [2]:

Pilih serangkaian nilai cutoff (ambang batas) yang mewakili kadar yang signifikan secara ekonomis atau geologis
Untuk setiap sampel dan setiap cutoff, buat variabel indikator biner:
- I(x; zc) = 1 jika z(x) ≤ zc
- I(x; zc) = 0 jika z(x) > zc

Di mana:

x adalah lokasi
z(x) adalah nilai kadar pada lokasi x
zc adalah nilai cutoff
I(x; zc) adalah variabel indikator

2.2.2 Fungsi Distribusi Kumulatif

Indicator Kriging memperkirakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) pada setiap lokasi blok [2]:

CDF mewakili probabilitas bahwa nilai kadar sebenarnya kurang dari atau sama dengan setiap cutoff
Dengan memperkirakan CDF, IK menyediakan informasi lengkap tentang ketidakpastian kadar
Probabilitas melebihi cutoff dapat dihitung sebagai 1 – CDF(cutoff)

2.2.3 Beberapa Model Variogram

Tidak seperti Ordinary Kriging, Indicator Kriging memerlukan model variogram terpisah untuk setiap cutoff [2]:

Setiap variogram indikator menangkap kontinuitas spasial dari indikator pada cutoff tertentu
Variogram dapat bervariasi secara signifikan antara cutoff yang berbeda
Pemodelan yang cermat dari setiap variogram sangat penting untuk hasil yang andal

2.2.4 Estimasi Probabilitas

Output utama dari Indicator Kriging adalah probabilitas, bukan nilai kadar tunggal [2]:

Untuk setiap blok, metode ini memperkirakan probabilitas bahwa nilai kadar sebenarnya berada di bawah setiap cutoff
Probabilitas ini dapat digunakan untuk:
- Menghitung nilai kadar yang diharapkan dengan integrasi
- Menilai ketidakpastian estimasi
- Mengklasifikasikan sumber daya berdasarkan kepercayaan
- Mengoptimalkan strategi penambangan berdasarkan risiko

3. Analisis Komparatif

3.1 Persamaan Antar Metode

Meskipun Ordinary Kriging dan Indicator Kriging berbeda secara fundamental dalam pendekatan mereka, mereka berbagi beberapa karakteristik umum:

3.1.1 Metodologi Pencarian Umum

Kedua metode menggunakan metodologi pencarian yang identik untuk mengidentifikasi sampel informasi [1], [2]:

Metode Pencarian Ellipsoid: Mendefinisikan volume pencarian 3D yang dapat diorientasikan untuk mencocokkan anisotropi geologis
Metode Pencarian Octant: Membagi ruang pencarian menjadi delapan octant untuk memastikan distribusi sampel yang seimbang di sekitar blok target

3.1.2 Parameter Pemilihan Sampel

Kedua metode berbagi parameter yang sama untuk mengontrol pemilihan sampel [1], [2]:

Jumlah Sampel Minimum: Jumlah minimum sampel informasi yang diperlukan untuk estimasi blok
Jumlah Sampel Maksimum: Batas atas pada jumlah sampel untuk mengontrol waktu komputasi
Radius Pencarian Maksimum: Jarak maksimum di mana sampel dianggap informatif
Jarak Pencarian Vertikal Maksimum: Pembatasan terpisah pada pencarian vertikal untuk menghormati kontrol stratigrafis
Kendala Lubang Bor: Opsi untuk membatasi jumlah sampel dari setiap lubang bor individu

3.1.3 Konsep Anisotropi

Kedua metode menggunakan parameter anisotropi untuk menjelaskan variabilitas spasial arah [1], [2]:

Bearing: Arah azimut dari sumbu kontinuitas maksimum
Plunge: Kemiringan vertikal dari sumbu kontinuitas maksimum
Dip: Rotasi tambahan untuk mendefinisikan orientasi ellipsoid penuh
Rasio Anisotropi: Rasio range dalam arah yang berbeda (semi-major, semi-minor, semi-vertikal)

3.1.4 Kerangka Geostatistik

Kedua metode beroperasi dalam kerangka geostatistik yang sama [1], [2]:

Keduanya menggunakan model variogram untuk menggambarkan kontinuitas spasial
Keduanya menghitung bobot kriging untuk meminimalkan varians estimasi
Keduanya menghasilkan metrik kontrol kualitas seperti varians kriging dan efisiensi kriging
Keduanya dapat menangani distribusi data anisotropik dan kompleks

3.1.5 Implementasi Surpac

Dalam Surpac, kedua metode diimplementasikan melalui antarmuka yang serupa [1], [2]:

Navigasi menu yang sama: Block model > Estimation
Struktur form parameter yang serupa
Konvensi penamaan atribut yang konsisten
Opsi kontrol kualitas yang sebanding

3.2 Perbedaan Utama

Meskipun ada persamaan, Ordinary Kriging dan Indicator Kriging berbeda secara fundamental dalam beberapa aspek kritis:

3.2.1 Tujuan dan Output

Ordinary Kriging [1]:

Tujuan: Menghasilkan nilai estimasi terbaik tunggal untuk atribut blok
Output: Satu nilai kadar untuk setiap blok
Informasi Ketidakpastian: Terbatas pada varians kriging, yang mengukur variabilitas konfigurasi sampel daripada ketidakpastian kadar yang sebenarnya

Indicator Kriging [2]:

Tujuan: Memperkirakan fungsi distribusi kumulatif lengkap untuk atribut blok
Output: Probabilitas melebihi beberapa cutoff untuk setiap blok
Informasi Ketidakpastian: Distribusi probabilitas lengkap, memungkinkan penilaian risiko terperinci dan klasifikasi kepercayaan

3.2.2 Transformasi Data

Ordinary Kriging [1]:

Bekerja langsung dengan nilai sampel kadar mentah
Tidak ada transformasi data yang diperlukan
Mengasumsikan distribusi yang relatif kontinu dan dapat diprediksi

Indicator Kriging [2]:

Mentransformasi data kontinu menjadi indikator biner (0 atau 1) pada setiap cutoff
Memerlukan definisi beberapa cutoff yang signifikan secara ekonomis atau geologis
Menangani distribusi miring, bimodal, atau kompleks dengan lebih efektif

3.2.3 Persyaratan Variogram

Ordinary Kriging [1]:

Memerlukan satu model variogram untuk variabel kadar
Variogram memodelkan kontinuitas spasial dari nilai kadar
Pemodelan variogram relatif sederhana

Indicator Kriging [2]:

Memerlukan model variogram terpisah untuk setiap cutoff
Setiap variogram indikator menangkap kontinuitas spasial dari indikator pada cutoff tertentu
Pemodelan variogram lebih kompleks dan memakan waktu
Variogram dapat sangat bervariasi antara cutoff yang berbeda

3.2.4 Parameter Anisotropi

Ordinary Kriging [1]:

Memerlukan satu set parameter anisotropi (bearing, plunge, dip, rasio)
Parameter menggambarkan arah kontinuitas spasial untuk variabel kadar

Indicator Kriging [2]:

Dapat memerlukan parameter anisotropi yang berbeda untuk setiap cutoff
Memungkinkan fleksibilitas yang lebih besar dalam memodelkan variabilitas spasial yang kompleks
Meningkatkan kompleksitas konfigurasi parameter

3.2.5 Penanganan Distribusi Miring

Ordinary Kriging [1]:

Dapat menghasilkan estimasi yang bias untuk distribusi yang sangat miring
Cenderung menghaluskan nilai kadar tinggi dan kadar rendah
Dapat memerlukan transformasi data (misalnya, log-transform) untuk distribusi yang sangat miring

Indicator Kriging [2]:

Menangani distribusi miring secara alami tanpa transformasi
Tidak membuat asumsi tentang bentuk distribusi
Lebih kuat untuk distribusi kompleks, bimodal, atau multimodal

3.2.6 Persyaratan Komputasi

Ordinary Kriging [1]:

Komputasi relatif efisien
Memerlukan pemecahan satu sistem persamaan kriging per blok
Cocok untuk model blok besar dengan jutaan blok

Indicator Kriging [2]:

Lebih intensif secara komputasi
Memerlukan pemecahan sistem persamaan kriging terpisah untuk setiap cutoff pada setiap blok
Waktu komputasi meningkat secara linear dengan jumlah cutoff
Dapat memerlukan sumber daya komputasi yang signifikan untuk model besar

3.2.7 Interpretasi Output

Ordinary Kriging [1]:

Output sederhana: satu nilai kadar per blok
Interpretasi langsung untuk pelaporan sumber daya
Varians kriging menyediakan ukuran konfigurasi sampel tetapi bukan ketidakpastian kadar langsung

Indicator Kriging [2]:

Output kompleks: beberapa probabilitas per blok
Memerlukan pasca-pemrosesan untuk mendapatkan nilai kadar yang diharapkan
Menyediakan informasi kaya untuk analisis risiko, optimisasi, dan klasifikasi kepercayaan
Probabilitas dapat digunakan langsung untuk klasifikasi sumber daya berdasarkan kepercayaan

3.3 Kapan Menggunakan Setiap Metode

Pemilihan antara Ordinary Kriging dan Indicator Kriging harus dipandu oleh karakteristik data, tujuan estimasi, dan persyaratan pelaporan.

3.3.1 Gunakan Ordinary Kriging Ketika:

Distribusi Data Relatif Normal atau Simetris [1]:
- Data menunjukkan distribusi yang relatif kontinu tanpa kemiringan yang ekstrem
- Tidak ada populasi ganda atau multimodal yang berbeda
- Transformasi sederhana (misalnya, log-transform) dapat menormalkan distribusi jika diperlukan
Estimasi Nilai Tunggal Sudah Cukup [1]:
- Tujuan utama adalah menghasilkan model blok kadar terbaik untuk pelaporan sumber daya
- Informasi ketidakpastian terperinci tidak diperlukan
- Standar pelaporan memerlukan nilai kadar estimasi tunggal
Efisiensi Komputasi Penting [1]:
- Model blok sangat besar dengan jutaan blok
- Sumber daya komputasi terbatas
- Waktu perputaran cepat diperlukan untuk studi iteratif
Pemodelan Variogram Sederhana [1]:
- Satu variogram dapat menangkap kontinuitas spasial secara memadai
- Struktur geologis relatif sederhana dan konsisten
- Sumber daya pemodelan variogram terbatas
Pelaporan Sumber Daya Standar [1]:
- Persyaratan pelaporan memerlukan estimasi blok kadar konvensional
- Klasifikasi sumber daya didasarkan pada kriteria jarak atau varians kriging
- Metode konsisten dengan praktik historis untuk deposit

3.3.2 Gunakan Indicator Kriging Ketika:

Distribusi Data Sangat Miring atau Kompleks [2]:
- Data menunjukkan kemiringan yang ekstrem dengan nilai outlier yang signifikan
- Distribusi bimodal atau multimodal hadir
- Populasi mineral yang berbeda dengan karakteristik kadar yang berbeda
Kuantifikasi Ketidakpastian Sangat Penting [2]:
- Penilaian risiko terperinci diperlukan untuk perencanaan tambang atau studi kelayakan
- Klasifikasi sumber daya harus didasarkan pada kepercayaan estimasi
- Analisis sensitivitas cutoff diperlukan untuk evaluasi ekonomi
Estimasi Probabilitas Diperlukan [2]:
- Tujuan utama adalah memperkirakan probabilitas melebihi cutoff ekonomis
- Optimisasi tambang memerlukan informasi probabilitas untuk manajemen risiko
- Standar pelaporan memerlukan klasifikasi kepercayaan berdasarkan ketidakpastian
Beberapa Cutoff Ekonomis Relevan [2]:
- Deposit memiliki beberapa kadar cutoff yang signifikan secara ekonomis
- Skenario pemrosesan yang berbeda memerlukan evaluasi pada cutoff yang berbeda
- Analisis sensitivitas cutoff adalah bagian penting dari studi ekonomi
Variabilitas Spasial Kompleks [2]:
- Kontinuitas spasial bervariasi secara signifikan antara kadar yang berbeda
- Kadar tinggi dan kadar rendah menunjukkan pola spasial yang berbeda
- Model variogram tunggal tidak dapat menangkap kompleksitas spasial secara memadai
Klasifikasi Sumber Daya Berbasis Kepercayaan [2]:
- Standar pelaporan memerlukan klasifikasi berdasarkan kepercayaan estimasi
- Probabilitas dapat digunakan langsung untuk mendefinisikan kategori terukur, terindikasi, dan tereka
- Informasi ketidakpastian terperinci diperlukan untuk dokumentasi klasifikasi

3.3.3 Pendekatan Komplementer

Dalam praktiknya, kedua metode sering digunakan secara komplementer [1], [2]:

Ordinary Kriging untuk Estimasi Utama [1]:
- Menghasilkan model blok kadar estimasi terbaik untuk pelaporan sumber daya standar
- Menyediakan estimasi yang efisien dan langsung untuk sebagian besar blok
Indicator Kriging untuk Penilaian Ketidakpastian [2]:
- Menyediakan informasi probabilitas terperinci untuk analisis risiko
- Mendukung klasifikasi sumber daya berbasis kepercayaan
- Memungkinkan analisis sensitivitas cutoff untuk evaluasi ekonomi
Validasi Silang [1], [2]:
- Membandingkan hasil dari kedua metode memberikan wawasan tentang keandalan estimasi
- Perbedaan yang signifikan dapat mengindikasikan masalah dengan asumsi metode atau kualitas data
- Konsistensi antara metode meningkatkan kepercayaan pada estimasi

4. Implementasi Ordinary Kriging di Surpac

4.1 Prasyarat dan Persiapan

Sebelum melakukan estimasi Ordinary Kriging di Surpac, beberapa prasyarat harus dipenuhi untuk memastikan hasil yang andal [1]:

4.1.1 Persiapan Data

Database Lubang Bor:
- Database lubang bor yang valid dan lengkap dengan collar, survey, dan tabel assay
- Data kadar telah divalidasi dan dibersihkan dari kesalahan
- Compositing telah diselesaikan ke panjang yang sesuai (biasanya sesuai dengan tinggi bench atau dimensi blok)
Analisis Statistik:
- Analisis statistik dasar telah dilakukan (histogram, statistik ringkasan)
- Outlier telah diidentifikasi dan ditangani dengan tepat
- Karakteristik distribusi dipahami
Pemodelan Domain:
- Model domain geologis atau mineralisasi telah dibuat jika diperlukan
- Domain telah divalidasi dan dikodekan ke dalam database lubang bor
- Strategi estimasi domain telah ditentukan (hard boundaries vs soft boundaries)

4.1.2 Pemodelan Variogram

Pemodelan variogram adalah langkah kritis yang harus diselesaikan sebelum estimasi kriging [1]:

Perhitungan Variogram Eksperimental:
- Variogram eksperimental (atau semi-variogram) telah dihitung untuk variabel kadar
- Variogram arah telah dihitung untuk mengidentifikasi anisotropi
- Jarak lag dan toleransi yang sesuai telah dipilih
Pencocokan Model Variogram:
- Model variogram teoritis telah dipasangkan ke variogram eksperimental
- Parameter model (nugget, sill, range) telah ditentukan
- Parameter anisotropi (bearing, plunge, dip, rasio) telah ditentukan
- Kualitas pencocokan telah divalidasi
Dokumentasi Model:
- Parameter model variogram telah didokumentasikan untuk referensi
- Asumsi dan keterbatasan model telah dicatat

4.1.3 Model Blok

Model blok harus dibuat dan dikonfigurasi sebelum estimasi [1]:

Definisi Model Blok:
- Model blok telah dibuat dengan asal, dimensi, dan ukuran blok yang sesuai
- Ukuran blok konsisten dengan ukuran unit penambangan yang direncanakan
- Atribut yang diperlukan telah ditambahkan ke model (misalnya, kode domain, koordinat pusat blok)
Diskretisasi Blok:
- Ukuran sub-blok untuk diskretisasi blok telah ditentukan
- Diskretisasi yang lebih halus meningkatkan akurasi tetapi meningkatkan waktu komputasi
- Nilai tipikal adalah 2×2×2 hingga 5×5×5 sub-blok per blok

4.2 Prosedur Langkah-demi-Langkah

Implementasi Ordinary Kriging di Surpac mengikuti urutan form yang terstruktur dengan baik, masing-masing memerlukan input parameter spesifik [1].

Langkah 1: Akses Menu Ordinary Kriging

Dari menu utama Surpac, navigasikan ke: Block model > Estimation > Ordinary kriging
Atau, gunakan command line: BM_FILL_OK
Serangkaian form akan muncul secara berurutan, memandu Anda melalui proses konfigurasi.

Langkah 2: Form Database Lubang Bor (Form 1)

Form pertama menentukan database sumber dan filter data [1]:

Parameter:

Database File: Tentukan file database lubang bor Surpac (.ddb)
- Contoh: project_drillholes.ddb
Sample Table: Pilih tabel yang berisi data sampel komposit
- Biasanya: COMPOSITES atau ASSAY
Eastings Field: Nama field yang berisi koordinat timur
- Biasanya: X atau EAST
Northings Field: Nama field yang berisi koordinat utara
- Biasanya: Y atau NORTH
RL Field: Nama field yang berisi elevasi (Reduced Level)
- Biasanya: Z atau RL
Grade Field: Nama field yang berisi nilai kadar untuk estimasi
- Contoh: AU_PPM, CU_PCT, FE_PCT
Domain Field (opsional): Field yang berisi kode domain jika estimasi dibatasi oleh domain
- Contoh: DOMAIN, ZONE, LITH
Domain Value (opsional): Nilai domain spesifik untuk memfilter sampel
- Contoh: 1, ORE, MAIN_ZONE

Tombol Tindakan:

OK: Lanjutkan ke form berikutnya
Cancel: Batalkan proses estimasi
Help: Akses dokumentasi bantuan

Langkah 3: Form Model Blok (Form 2)

Form kedua menentukan model blok target dan atribut output [1]:

Parameter:

Block Model File: Tentukan file model blok Surpac (.mdl)
- Contoh: resource_model.mdl
Estimate Attribute: Nama atribut model blok untuk menyimpan kadar yang diestimasi
- Contoh: AU_OK, CU_EST, FE_GRADE
- Atribut akan dibuat jika belum ada
Variance Attribute (opsional): Nama atribut untuk menyimpan varians kriging
- Contoh: AU_VAR, CU_KVAR
- Menyediakan ukuran konfigurasi sampel
Number of Samples Attribute (opsional): Atribut untuk menyimpan jumlah sampel yang digunakan
- Contoh: AU_NSAMP, N_SAMPLES
- Berguna untuk kontrol kualitas
Domain Attribute (opsional): Atribut model blok yang berisi kode domain
- Contoh: DOMAIN, ZONE
- Digunakan untuk membatasi estimasi pada domain yang cocok

Opsi Lanjutan:

Discretization: Jumlah sub-blok untuk diskretisasi blok
- Format: nx × ny × nz (misalnya, 3 × 3 × 3)
- Nilai tipikal: 2×2×2 hingga 5×5×5
- Diskretisasi yang lebih tinggi = akurasi lebih tinggi tetapi komputasi lebih lambat

Tombol Tindakan:

OK: Lanjutkan ke form berikutnya
Back: Kembali ke form sebelumnya
Cancel: Batalkan proses estimasi

Langkah 4: Form Parameter Pencarian (Form 3)

Form ketiga mendefinisikan metode pencarian dan parameter pemilihan sampel [1]:

Metode Pencarian:

Search Method: Pilih metode pencarian
- Ellipsoid: Pencarian ellipsoid 3D standar (paling umum)
- Octant: Pencarian octant untuk memastikan distribusi sampel yang seimbang

Parameter Pencarian Ellipsoid:

Maximum Search Radius: Radius pencarian maksimum dalam arah sumbu utama
- Contoh: 100 meter
- Biasanya 1,5 hingga 2 kali range variogram
Search Ratio Y: Rasio radius pencarian dalam arah Y relatif terhadap arah X
- Contoh: 0.5 (setengah dari radius X)
- Nilai 1.0 = pencarian isotropik dalam bidang horizontal
Search Ratio Z: Rasio radius pencarian dalam arah Z relatif terhadap arah X
- Contoh: 0.3 (30% dari radius X)
- Biasanya lebih kecil untuk menghormati kontrol stratigrafis
Bearing: Arah azimut dari sumbu pencarian utama (derajat dari utara)
- Contoh: 45 derajat
- Harus cocok dengan bearing variogram
Plunge: Kemiringan vertikal dari sumbu pencarian utama (derajat dari horizontal)
- Contoh: -15 derajat (menukik ke bawah)
- Harus cocok dengan plunge variogram
Dip: Rotasi tambahan dari ellipsoid pencarian (derajat)
- Contoh: 0 derajat
- Harus cocok dengan dip variogram

Parameter Pemilihan Sampel:

Minimum Samples: Jumlah minimum sampel yang diperlukan untuk estimasi blok
- Contoh: 4 sampel
- Blok dengan sampel lebih sedikit tidak akan diestimasi
Maximum Samples: Jumlah maksimum sampel untuk digunakan dalam estimasi
- Contoh: 24 sampel
- Membatasi waktu komputasi dan pengaruh sampel yang jauh
Maximum Samples per Drillhole (opsional): Batas sampel dari satu lubang bor
- Contoh: 4 sampel
- Mencegah dominasi dari satu lubang bor

Parameter Pencarian Octant (jika metode octant dipilih):

Minimum Samples per Octant: Jumlah minimum sampel yang diperlukan dari setiap octant
- Contoh: 1 sampel
- Memastikan distribusi spasial yang seimbang
Maximum Samples per Octant: Jumlah maksimum sampel dari setiap octant
- Contoh: 3 sampel
- Mencegah dominasi dari satu arah

Tombol Tindakan:

OK: Lanjutkan ke form berikutnya
Back: Kembali ke form sebelumnya
Cancel: Batalkan proses estimasi

Langkah 5: Form Parameter Variogram (Form 4)

Form keempat menentukan parameter model variogram [1]:

Struktur Variogram:

Surpac mendukung hingga 4 struktur variogram bersarang (nugget + hingga 3 struktur). Setiap struktur memerlukan:

Variogram Type: Jenis model variogram
- Opsi: Spherical, Exponential, Gaussian, Linear
- Spherical adalah yang paling umum digunakan

Untuk Setiap Struktur:

Nugget (hanya struktur pertama): Efek nugget (varians pada jarak nol)
- Contoh: 0.05 (unit kadar kuadrat)
- Mewakili kesalahan pengukuran dan variabilitas skala mikro
Sill Contribution: Kontribusi struktur ini ke total sill
- Contoh: 0.25 (unit kadar kuadrat)
- Total sill = nugget + jumlah dari semua kontribusi sill
Range (Major Axis): Range dalam arah kontinuitas maksimum
- Contoh: 80 meter
- Jarak di mana variabilitas mencapai sill
Range Ratio Y: Rasio range dalam arah Y relatif terhadap arah major axis
- Contoh: 0.6 (60% dari range major)
- Nilai 1.0 = isotropi dalam bidang horizontal
Range Ratio Z: Rasio range dalam arah Z relatif terhadap arah major axis
- Contoh: 0.4 (40% dari range major)
- Biasanya lebih kecil karena kontinuitas vertikal yang lebih rendah

Orientasi Variogram:

Bearing: Arah azimut dari sumbu kontinuitas maksimum
- Contoh: 45 derajat
- Harus cocok dengan orientasi pencarian
Plunge: Kemiringan vertikal dari sumbu kontinuitas maksimum
- Contoh: -15 derajat
- Harus cocok dengan orientasi pencarian
Dip: Rotasi tambahan untuk mendefinisikan orientasi penuh
- Contoh: 0 derajat
- Harus cocok dengan orientasi pencarian

Tombol Tindakan:

OK: Lanjutkan ke form berikutnya (atau mulai estimasi jika ini form terakhir)
Back: Kembali ke form sebelumnya
Cancel: Batalkan proses estimasi

Langkah 6: Form Atribut Tambahan (Form 5 – Opsional)

Form kelima (opsional) memungkinkan konfigurasi atribut output tambahan untuk kontrol kualitas [1]:

Atribut Kontrol Kualitas:

Lagrange Multiplier Attribute: Atribut untuk menyimpan pengali Lagrange
- Contoh: AU_LAGR
- Mengindikasikan apakah kondisi tidak bias terpenuhi
- Nilai ideal mendekati 0
Distance to Nearest Sample Attribute: Atribut untuk menyimpan jarak ke sampel terdekat
- Contoh: AU_DIST
- Berguna untuk klasifikasi sumber daya
- Jarak yang lebih kecil = kepercayaan yang lebih tinggi
Average Distance Attribute: Atribut untuk menyimpan jarak rata-rata ke semua sampel informasi
- Contoh: AU_AVGDIST
- Menyediakan ukuran kepadatan data keseluruhan
Kriging Efficiency Attribute: Atribut untuk menyimpan efisiensi kriging
- Contoh: AU_EFF
- Efisiensi = 1 – (varians kriging / varians populasi)
- Nilai yang lebih tinggi = estimasi yang lebih andal
Number of Negative Weights Attribute: Atribut untuk menghitung bobot kriging negatif
- Contoh: AU_NEGWT
- Bobot negatif dapat mengindikasikan masalah dengan konfigurasi sampel atau model variogram
Conditional Bias Slope Attribute: Atribut untuk menyimpan kemiringan bias kondisional
- Contoh: AU_CBS
- Mengukur bias potensial dalam estimasi
- Nilai ideal mendekati 1.0

Tombol Tindakan:

OK: Mulai proses estimasi
Back: Kembali ke form sebelumnya
Cancel: Batalkan proses estimasi

Langkah 7: Eksekusi dan Monitoring

Setelah semua parameter dikonfigurasi [1]:

Mulai Estimasi: Klik OK pada form terakhir untuk memulai estimasi
Monitoring Kemajuan:
- Surpac akan menampilkan bar kemajuan yang menunjukkan persentase blok yang diestimasi
- Pesan status akan mengindikasikan blok mana yang sedang diproses
- Estimasi dapat memakan waktu dari beberapa menit hingga beberapa jam tergantung pada ukuran model dan kompleksitas
Penanganan Kesalahan:
- Jika kesalahan terjadi, Surpac akan menampilkan pesan kesalahan
- Kesalahan umum termasuk: file tidak ditemukan, nama atribut tidak valid, parameter tidak konsisten
- Perbaiki kesalahan dan mulai ulang proses
Penyelesaian:
- Setelah estimasi selesai, Surpac akan menampilkan pesan ringkasan
- Ringkasan termasuk: jumlah total blok, blok yang diestimasi, blok yang tidak diestimasi
- Model blok sekarang berisi atribut yang diestimasi dan dapat divisualisasikan atau diekspor

4.3 Konfigurasi Parameter

Konfigurasi parameter yang tepat sangat penting untuk hasil Ordinary Kriging yang andal [1]. Bagian ini memberikan panduan tentang pemilihan parameter.

4.3.1 Parameter Pencarian

Maximum Search Radius [1]:

Tujuan: Mendefinisikan jarak maksimum di mana sampel dianggap informatif
Panduan:
- Biasanya 1,5 hingga 2 kali range variogram
- Radius yang lebih besar termasuk lebih banyak sampel tetapi dapat mencakup sampel yang tidak berkorelasi
- Radius yang lebih kecil dapat menghasilkan blok yang tidak diestimasi di area dengan data yang jarang
Nilai Tipikal: 50-200 meter, tergantung pada kepadatan bor dan ukuran deposit

Rasio Pencarian [1]:

Tujuan: Mendefinisikan bentuk ellipsoid pencarian untuk mencocokkan anisotropi geologis
Panduan:
- Harus konsisten dengan rasio anisotropi variogram
- Rasio Y biasanya 0,3 hingga 0,8 (kontinuitas sedang dalam arah minor)
- Rasio Z biasanya 0,1 hingga 0,5 (kontinuitas vertikal yang lebih rendah)
Pertimbangan:
- Rasio yang lebih kecil membatasi pencarian dalam arah dengan kontinuitas yang lebih rendah
- Rasio yang lebih besar termasuk lebih banyak sampel tetapi dapat melanggar asumsi anisotropi

Orientasi Pencarian [1]:

Tujuan: Menyelaraskan ellipsoid pencarian dengan arah kontinuitas geologis
Panduan:
- Bearing, plunge, dan dip harus cocok dengan parameter orientasi variogram
- Gunakan analisis variogram arah untuk menentukan orientasi
- Pertimbangkan kontrol struktural geologis (misalnya, strike dan dip dari mineralisasi)

4.3.2 Parameter Pemilihan Sampel

Minimum Samples [1]:

Tujuan: Memastikan estimasi didasarkan pada data yang cukup
Panduan:
- Nilai tipikal: 4-8 sampel
- Nilai yang lebih tinggi meningkatkan keandalan tetapi dapat menghasilkan lebih banyak blok yang tidak diestimasi
- Nilai yang lebih rendah memungkinkan estimasi dengan data yang jarang tetapi mengurangi kepercayaan
Pertimbangan:
- Harus cukup tinggi untuk memastikan estimasi yang stabil
- Harus cukup rendah untuk memungkinkan estimasi di area dengan kepadatan bor sedang

Maximum Samples [1]:

Tujuan: Mengontrol waktu komputasi dan membatasi pengaruh sampel yang jauh
Panduan:
- Nilai tipikal: 16-32 sampel
- Nilai yang lebih tinggi meningkatkan akurasi tetapi meningkatkan waktu komputasi secara kuadratik
- Nilai yang lebih rendah mengurangi waktu komputasi tetapi dapat mengurangi akurasi
Pertimbangan:
- Sampel tambahan di luar ~24-32 biasanya memiliki dampak minimal pada estimasi
- Keseimbangan antara akurasi dan efisiensi komputasi

Maximum Samples per Drillhole [1]:

Tujuan: Mencegah dominasi dari satu lubang bor
Panduan:
- Nilai tipikal: 2-4 sampel
- Memastikan estimasi didasarkan pada beberapa lubang bor
- Meningkatkan distribusi spasial sampel informasi
Pertimbangan:
- Terlalu ketat dapat membatasi sampel yang tersedia secara berlebihan
- Terlalu longgar dapat memungkinkan bias dari satu lubang bor

4.3.3 Parameter Variogram

Nugget Effect [1]:

Tujuan: Mewakili variabilitas pada jarak nol (kesalahan pengukuran + variabilitas skala mikro)
Panduan:
- Biasanya 10-30% dari total sill
- Nugget yang lebih tinggi mengindikasikan kesalahan pengukuran yang lebih besar atau variabilitas skala kecil
- Nugget yang lebih rendah mengindikasikan kontinuitas yang kuat bahkan pada jarak pendek
Interpretasi:
- Nugget tinggi (>50% dari sill) mengindikasikan kontinuitas spasial yang buruk
- Nugget rendah (<10% dari sill) mengindikasikan kontinuitas yang sangat baik

Sill [1]:

Tujuan: Mewakili variabilitas maksimum yang dicapai pada jarak yang lebih besar
Panduan:
- Total sill (nugget + kontribusi struktur) harus mendekati varians populasi
- Untuk variogram yang dinormalisasi, total sill = 1.0
Pertimbangan:
- Sill yang terlalu rendah mengindikasikan model variogram yang tidak memadai
- Sill yang terlalu tinggi dapat mengindikasikan overfitting atau tren yang tidak dimodelkan

Range [1]:

Tujuan: Jarak di mana variabilitas mencapai sill (batas korelasi spasial)
Panduan:
- Harus ditentukan dari pencocokan variogram eksperimental
- Range yang lebih besar mengindikasikan kontinuitas spasial yang lebih kuat
- Range yang lebih kecil mengindikasikan variabilitas yang lebih cepat
Interpretasi:
- Range mendefinisikan “zona pengaruh” dari setiap sampel
- Sampel yang terpisah lebih dari range pada dasarnya tidak berkorelasi

Rasio Anisotropi [1]:

Tujuan: Menggambarkan bagaimana kontinuitas spasial bervariasi dengan arah
Panduan:
- Harus ditentukan dari analisis variogram arah
- Rasio Y biasanya 0,3 hingga 0,8 (anisotropi horizontal sedang)
- Rasio Z biasanya 0,1 hingga 0,5 (anisotropi vertikal yang kuat)
Pertimbangan:
- Rasio yang lebih kecil mengindikasikan anisotropi yang lebih kuat
- Rasio mendekati 1,0 mengindikasikan kontinuitas yang hampir isotropik

4.3.4 Parameter Diskretisasi Blok

Jumlah Sub-Blok [1]:

Tujuan: Meningkatkan akurasi dengan memperkirakan nilai blok rata-rata melalui beberapa titik dalam blok
Panduan:
- Nilai tipikal: 2×2×2 hingga 5×5×5 sub-blok
- Diskretisasi yang lebih tinggi meningkatkan akurasi tetapi meningkatkan waktu komputasi secara linear
- Untuk blok besar relatif terhadap range variogram, diskretisasi yang lebih tinggi diperlukan
Pertimbangan:
- Diskretisasi minimal (1×1×1) memperlakukan blok sebagai titik
- Diskretisasi yang berlebihan (>5×5×5) jarang memberikan peningkatan yang signifikan

5. Implementasi Indicator Kriging di Surpac

5.1 Prasyarat dan Persiapan

Indicator Kriging memerlukan persiapan yang lebih ekstensif daripada Ordinary Kriging karena kompleksitas tambahan dari transformasi indikator dan beberapa model variogram [2].

5.1.1 Persiapan Data

Persyaratan persiapan data untuk Indicator Kriging mirip dengan Ordinary Kriging tetapi dengan pertimbangan tambahan [2]:

Database Lubang Bor:
- Database yang divalidasi dan dibersihkan dengan collar, survey, dan tabel assay
- Compositing diselesaikan ke panjang yang sesuai
- Data kadar telah diperiksa untuk kesalahan dan inkonsistensi
Analisis Statistik Terperinci:
- Analisis distribusi menyeluruh untuk mengidentifikasi kemiringan, outlier, dan populasi ganda
- Histogram dan plot probabilitas untuk memahami karakteristik distribusi
- Identifikasi cutoff yang signifikan secara ekonomis atau geologis
Pemilihan Cutoff:
- Tentukan serangkaian cutoff yang mewakili ambang batas ekonomis atau geologis yang penting
- Cutoff tipikal termasuk: kadar cutoff ekonomis, kadar mill feed, batas kadar tinggi/rendah
- Jumlah cutoff biasanya 3-7, tergantung pada kompleksitas distribusi
- Pastikan jumlah sampel yang cukup di atas dan di bawah setiap cutoff

5.1.2 Pemodelan Variogram Indikator

Indicator Kriging memerlukan model variogram terpisah untuk setiap cutoff, membuat pemodelan variogram jauh lebih kompleks [2]:

Transformasi Indikator:
- Untuk setiap cutoff, transformasikan data kadar menjadi indikator biner (0 atau 1)
- I(x; zc) = 1 jika z(x) ≤ zc, 0 sebaliknya
- Hitung proporsi sampel di bawah setiap cutoff (ini akan menjadi mean indikator)
Perhitungan Variogram Indikator:
- Hitung variogram eksperimental untuk setiap variabel indikator
- Variogram indikator dapat sangat berbeda dari variogram kadar
- Variogram untuk cutoff yang berbeda dapat menunjukkan pola kontinuitas spasial yang berbeda
Pencocokan Model Variogram Indikator:
- Pasangkan model variogram teoritis ke setiap variogram indikator eksperimental
- Parameter (nugget, sill, range, anisotropi) dapat bervariasi antara cutoff
- Pastikan model memenuhi kondisi order-relation (opsional tetapi direkomendasikan)
Validasi Model:
- Validasi setiap model variogram indikator melalui validasi silang
- Periksa konsistensi antara model untuk cutoff yang berbeda
- Dokumentasikan parameter model untuk setiap cutoff

5.1.3 Model Blok

Persyaratan model blok untuk Indicator Kriging mirip dengan Ordinary Kriging [2]:

Definisi Model Blok:
- Model blok dengan dimensi dan diskretisasi yang sesuai
- Atribut yang cukup untuk menyimpan probabilitas untuk setiap cutoff
- Atribut tambahan untuk metrik kontrol kualitas
Penamaan Atribut:
- Konvensi penamaan yang konsisten untuk probabilitas cutoff
- Contoh: AU_P100, AU_P200, AU_P300 untuk probabilitas melebihi 1.0, 2.0, 3.0 g/t Au
- Atribut untuk nilai kadar yang diharapkan yang dihitung dari probabilitas

5.2 Prosedur Langkah-demi-Langkah

Implementasi Indicator Kriging di Surpac mengikuti urutan yang mirip dengan Ordinary Kriging tetapi dengan form tambahan untuk menangani beberapa cutoff dan variogram [2].

Langkah 1: Akses Menu Indicator Kriging

Dari menu utama Surpac, navigasikan ke: Block model > Estimation > Indicator kriging
Atau, gunakan command line: BM_FILL_IK
Serangkaian form akan muncul, memandu Anda melalui konfigurasi yang lebih kompleks dibandingkan dengan Ordinary Kriging.

Langkah 2: Form Database Lubang Bor (Form 1)

Form pertama identik dengan Ordinary Kriging [2]:

Parameter:

Database File: File database lubang bor Surpac (.ddb)
Sample Table: Tabel yang berisi data sampel komposit
Eastings Field: Field koordinat timur
Northings Field: Field koordinat utara
RL Field: Field elevasi
Grade Field: Field yang berisi nilai kadar
Domain Field (opsional): Field kode domain
Domain Value (opsional): Nilai domain untuk filtering

Langkah 3: Form Model Blok (Form 2)

Form kedua menentukan model blok dan atribut output untuk setiap cutoff [2]:

Parameter:

Block Model File: File model blok Surpac (.mdl)
Number of Cutoffs: Jumlah cutoff untuk Indicator Kriging
- Contoh: 5 cutoff
- Menentukan jumlah model variogram dan atribut output yang diperlukan

Untuk Setiap Cutoff (diulang untuk setiap cutoff):

Cutoff Value: Nilai ambang batas untuk transformasi indikator
- Contoh: 0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 5.0 g/t Au
- Harus mewakili ambang batas yang signifikan secara ekonomis atau geologis
Probability Attribute: Nama atribut untuk menyimpan probabilitas melebihi cutoff
- Contoh: AU_P050, AU_P100, AU_P200, AU_P300, AU_P500
- Konvensi penamaan yang konsisten memfasilitasi interpretasi
Variance Attribute (opsional): Atribut untuk menyimpan varians kriging indikator
- Contoh: AU_V050, AU_V100, dll.

Atribut Umum:

Expected Grade Attribute (opsional): Atribut untuk menyimpan nilai kadar yang diharapkan
- Contoh: AU_E_VALUE
- Dihitung dari probabilitas cutoff melalui integrasi
Number of Samples Attribute (opsional): Atribut untuk jumlah sampel
- Contoh: AU_NSAMP
Discretization: Jumlah sub-blok untuk diskretisasi
- Format: nx × ny × nz
- Nilai tipikal: 3×3×3 hingga 5×5×5

Langkah 4: Form Parameter Pencarian (Form 3)

Form parameter pencarian identik dengan Ordinary Kriging [2]:

Metode Pencarian:

Ellipsoid atau Octant

Parameter Pencarian:

Maximum Search Radius
Search Ratio Y dan Z
Bearing, Plunge, Dip
Minimum dan Maximum Samples
Maximum Samples per Drillhole
Parameter octant (jika berlaku)

Langkah 5: Form Parameter Variogram Indikator (Form 4)

Form ini adalah yang paling kompleks dalam Indicator Kriging, karena memerlukan spesifikasi model variogram terpisah untuk setiap cutoff [2]:

Untuk Setiap Cutoff (diulang untuk setiap cutoff):

Identifikasi Cutoff:

Cutoff Value: Nilai cutoff (ditampilkan untuk referensi)
- Contoh: 1.0 g/t Au

Struktur Variogram Indikator:

Untuk setiap cutoff, tentukan hingga 4 struktur variogram bersarang:

Variogram Type: Jenis model variogram untuk cutoff ini
- Opsi: Spherical, Exponential, Gaussian, Linear
- Dapat berbeda antara cutoff

Untuk Setiap Struktur (untuk cutoff ini):

Nugget (hanya struktur pertama): Efek nugget untuk variogram indikator ini
- Contoh: 0.03
- Dapat bervariasi secara signifikan antara cutoff
Sill Contribution: Kontribusi ke total sill untuk variogram indikator ini
- Contoh: 0.20
- Total sill harus konsisten dengan varians indikator: p(1-p), di mana p adalah proporsi di bawah cutoff
Range (Major Axis): Range dalam arah kontinuitas maksimum untuk cutoff ini
- Contoh: 70 meter
- Dapat berbeda dari range kadar dan antara cutoff
Range Ratio Y: Rasio range dalam arah Y untuk cutoff ini
- Contoh: 0.5
Range Ratio Z: Rasio range dalam arah Z untuk cutoff ini
- Contoh: 0.3

Orientasi Variogram Indikator:

Bearing: Arah azimut untuk variogram indikator ini
- Contoh: 45 derajat
- Dapat berbeda antara cutoff jika pola spasial bervariasi dengan kadar
Plunge: Kemiringan vertikal untuk variogram indikator ini
- Contoh: -15 derajat
Dip: Rotasi tambahan untuk variogram indikator ini
- Contoh: 0 derajat

Pertimbangan Penting:

Setiap cutoff dapat memiliki parameter variogram yang sepenuhnya berbeda
Variogram indikator untuk kadar rendah dan kadar tinggi sering menunjukkan range dan anisotropi yang berbeda
Total sill untuk setiap variogram indikator harus konsisten dengan varians teoritis: p(1-p)
Pemodelan yang cermat dari setiap variogram indikator sangat penting untuk hasil yang andal

Langkah 6: Form Atribut Tambahan (Form 5 – Opsional)

Form ini mirip dengan Ordinary Kriging tetapi dengan opsi untuk setiap cutoff [2]:

Untuk Setiap Cutoff:

Lagrange Multiplier Attribute: Atribut untuk pengali Lagrange cutoff ini
- Contoh: AU_L050, AU_L100, dll.
Kriging Efficiency Attribute: Atribut untuk efisiensi kriging cutoff ini
- Contoh: AU_E050, AU_E100, dll.
Number of Negative Weights Attribute: Atribut untuk menghitung bobot negatif
- Contoh: AU_N050, AU_N100, dll.

Atribut Umum:

Distance to Nearest Sample Attribute: Jarak ke sampel terdekat (sama untuk semua cutoff)
- Contoh: AU_DIST
Average Distance Attribute: Jarak rata-rata ke sampel informasi
- Contoh: AU_AVGDIST

Langkah 7: Eksekusi dan Monitoring

Proses eksekusi untuk Indicator Kriging mirip dengan Ordinary Kriging tetapi biasanya memakan waktu lebih lama [2]:

Mulai Estimasi: Klik OK pada form terakhir
Monitoring Kemajuan:
- Bar kemajuan menunjukkan persentase penyelesaian
- Estimasi memproses setiap cutoff secara berurutan untuk setiap blok
- Waktu komputasi kira-kira N kali Ordinary Kriging, di mana N adalah jumlah cutoff
Penanganan Kesalahan:
- Kesalahan dapat terjadi untuk cutoff individual jika parameter tidak valid
- Pesan kesalahan akan mengindikasikan cutoff dan masalah mana
- Perbaiki parameter dan mulai ulang
Penyelesaian:
- Pesan ringkasan menunjukkan blok yang diestimasi untuk setiap cutoff
- Model blok berisi atribut probabilitas untuk semua cutoff
- Pasca-pemrosesan dapat diperlukan untuk menghitung nilai kadar yang diharapkan

5.3 Konfigurasi Parameter

Konfigurasi parameter untuk Indicator Kriging memerlukan pertimbangan yang cermat karena kompleksitas tambahan dari beberapa cutoff dan variogram [2].

5.3.1 Pemilihan Cutoff

Jumlah Cutoff [2]:

Panduan:
- Jumlah tipikal: 3-7 cutoff
- Cutoff yang lebih sedikit mengurangi waktu komputasi tetapi menyediakan resolusi yang lebih kasar dari distribusi
- Cutoff yang lebih banyak meningkatkan resolusi tetapi meningkatkan kompleksitas dan waktu komputasi
Pertimbangan:
- Setiap cutoff memerlukan model variogram terpisah
- Pastikan jumlah sampel yang cukup di atas dan di bawah setiap cutoff
- Fokus pada cutoff yang signifikan secara ekonomis atau geologis

Nilai Cutoff [2]:

Panduan:
- Pilih cutoff yang mewakili ambang batas ekonomis yang penting (misalnya, kadar cutoff ekonomis)
- Sertakan cutoff yang mendefinisikan populasi kadar yang berbeda (misalnya, kadar rendah, sedang, tinggi)
- Spasi cutoff untuk menangkap karakteristik distribusi yang penting
Contoh untuk Deposit Emas:
- 0,5 g/t (cutoff ekonomis rendah)
- 1,0 g/t (cutoff ekonomis tipikal)
- 2,0 g/t (cutoff ekonomis tinggi)
- 3,0 g/t (batas kadar tinggi)
- 5,0 g/t (kadar sangat tinggi)

5.3.2 Parameter Variogram Indikator

Nugget untuk Variogram Indikator [2]:

Karakteristik:
- Nugget variogram indikator dapat sangat berbeda dari nugget variogram kadar
- Biasanya lebih rendah untuk cutoff ekstrim (rendah dan tinggi) karena populasi yang lebih homogen
- Dapat lebih tinggi untuk cutoff menengah di mana kedua populasi hadir
Panduan:
- Tentukan dari variogram indikator eksperimental untuk setiap cutoff
- Nugget tipikal: 10-40% dari total sill
- Periksa konsistensi dengan varians teoritis: p(1-p)

Sill untuk Variogram Indikator [2]:

Kendala Teoritis:
- Total sill untuk variogram indikator harus mendekati varians teoritis: p(1-p)
- Di mana p adalah proporsi sampel di bawah cutoff
- Contoh: jika 30% sampel di bawah cutoff, sill teoritis = 0,30 × 0,70 = 0,21
Panduan:
- Pastikan total sill (nugget + kontribusi struktur) konsisten dengan varians teoritis
- Penyimpangan yang signifikan mengindikasikan masalah dengan pemodelan variogram
- Sill biasanya lebih rendah untuk cutoff ekstrim (proporsi mendekati 0 atau 1)

Range untuk Variogram Indikator [2]:

Variabilitas:
- Range dapat bervariasi secara signifikan antara cutoff
- Kadar tinggi sering menunjukkan range yang lebih pendek (kontinuitas yang lebih rendah) daripada kadar rendah
- Kadar rendah dapat menunjukkan range yang lebih panjang (kontinuitas yang lebih besar)
Panduan:
- Tentukan range secara independen untuk setiap cutoff dari variogram eksperimental
- Jangan asumsikan range yang sama untuk semua cutoff
- Dokumentasikan alasan untuk perbedaan range antara cutoff

Anisotropi untuk Variogram Indikator [2]:

Variabilitas:
- Rasio anisotropi dapat bervariasi antara cutoff
- Kadar tinggi dapat menunjukkan anisotropi yang lebih kuat jika terkait dengan kontrol struktural tertentu
- Kadar rendah dapat menunjukkan anisotropi yang lebih lemah jika lebih tersebar luas
Panduan:
- Tentukan parameter anisotropi dari analisis variogram arah untuk setiap cutoff
- Pertimbangkan kontrol geologis yang dapat mempengaruhi distribusi spasial kadar yang berbeda
- Dokumentasikan alasan untuk perbedaan anisotropi

5.3.3 Parameter Pencarian

Parameter pencarian untuk Indicator Kriging umumnya mirip dengan Ordinary Kriging [2]:

Maximum Search Radius [2]:

Biasanya 1,5 hingga 2 kali range variogram indikator rata-rata
Dapat perlu disesuaikan jika range bervariasi secara signifikan antara cutoff
Pertimbangkan menggunakan radius yang lebih besar jika range indikator lebih panjang daripada range kadar

Minimum dan Maximum Samples [2]:

Nilai tipikal sama dengan Ordinary Kriging (minimum 4-8, maksimum 16-32)
Pertimbangkan meningkatkan jumlah sampel minimum untuk meningkatkan keandalan estimasi probabilitas
Jumlah sampel maksimum dapat perlu lebih tinggi jika variabilitas indikator lebih besar

5.3.4 Pasca-Pemrosesan

Setelah estimasi Indicator Kriging, pasca-pemrosesan sering diperlukan [2]:

Perhitungan Nilai yang Diharapkan [2]:

Nilai kadar yang diharapkan dapat dihitung dari probabilitas cutoff melalui integrasi numerik
Beberapa metode tersedia: integrasi trapesium, integrasi Simpson, interpolasi spline
Nilai yang diharapkan dapat digunakan untuk pelaporan sumber daya standar

Klasifikasi Kepercayaan [2]:

Probabilitas dapat digunakan langsung untuk mengklasifikasikan sumber daya:
- Measured: probabilitas tinggi melebihi cutoff ekonomis (misalnya, >80%)
- Indicated: probabilitas sedang (misalnya, 50-80%)
- Inferred: probabilitas rendah (misalnya, <50%)
Klasifikasi berbasis probabilitas lebih ketat daripada klasifikasi berbasis jarak

Penilaian Ketidakpastian [2]:

Distribusi probabilitas lengkap memungkinkan kuantifikasi ketidakpastian terperinci
Interval kepercayaan dapat dihitung untuk estimasi kadar
Analisis risiko dapat dilakukan untuk berbagai skenario cutoff

6. Kontrol Kualitas dan Klasifikasi Sumber Daya

Kontrol kualitas adalah aspek penting dari estimasi kriging, memastikan keandalan dan kesesuaian estimasi untuk pelaporan sumber daya dan perencanaan tambang [1], [2].

6.1 Metrik Kontrol Kualitas

6.1.1 Varians Kriging

Definisi [1]: Varians kriging adalah ukuran ketidakpastian estimasi yang dihasilkan dari konfigurasi sampel dan model variogram. Ini dihitung sebagai bagian dari proses kriging dan mewakili varians kesalahan estimasi yang diminimalkan.

Formula [1]:

σ²_K = C(0) - Σ λᵢ C(xᵢ, x₀) - μ

Di mana:

σ²_K adalah varians kriging
C(0) adalah varians populasi (sill variogram)
λᵢ adalah bobot kriging
C(xᵢ, x₀) adalah kovarians antara sampel i dan blok target
μ adalah pengali Lagrange

Interpretasi [1]:

Varians kriging yang lebih rendah mengindikasikan konfigurasi sampel yang lebih baik dan kepercayaan estimasi yang lebih tinggi
Varians kriging yang lebih tinggi mengindikasikan data yang jarang atau konfigurasi sampel yang buruk
Varians kriging tergantung pada konfigurasi sampel, bukan pada nilai kadar sebenarnya
Varians kriging tidak dapat negatif; nilai negatif mengindikasikan masalah dengan model variogram atau konfigurasi

Penggunaan untuk Klasifikasi Sumber Daya [1]:

Measured: varians kriging rendah (misalnya, <threshold₁)
Indicated: varians kriging sedang (misalnya, threshold₁ – threshold₂)
Inferred: varians kriging tinggi (misalnya, >threshold₂)
Threshold spesifik harus ditentukan berdasarkan karakteristik deposit dan persyaratan pelaporan

6.1.2 Efisiensi Kriging

Definisi [1]: Efisiensi kriging adalah ukuran seberapa baik konfigurasi sampel mengurangi ketidakpastian estimasi dibandingkan dengan tidak adanya informasi.

Formula [1]:

Efisiensi = 1 - (σ²_K / σ²_populasi)

Di mana:

σ²_K adalah varians kriging
σ²_populasi adalah varians populasi (sill variogram)

Interpretasi [1]:

Efisiensi 1,0 (100%) mengindikasikan ketidakpastian nol (tidak mungkin dalam praktik)
Efisiensi 0,0 (0%) mengindikasikan tidak ada pengurangan ketidakpastian (tidak ada sampel informasi)
Efisiensi tipikal: 0,5-0,9 (50-90%)
Efisiensi yang lebih tinggi mengindikasikan estimasi yang lebih andal

Penggunaan untuk Klasifikasi Sumber Daya [1]:

Measured: efisiensi tinggi (misalnya, >80%)
Indicated: efisiensi sedang (misalnya, 60-80%)
Inferred: efisiensi rendah (misalnya, <60%)

6.1.3 Pengali Lagrange

Definisi [1]: Pengali Lagrange adalah parameter yang diperkenalkan dalam sistem persamaan kriging untuk memaksakan kondisi tidak bias (jumlah bobot = 1).

Interpretasi [1]:

Pengali Lagrange yang mendekati nol mengindikasikan bahwa kondisi tidak bias terpenuhi dengan mudah
Pengali Lagrange yang besar (positif atau negatif) mengindikasikan bahwa memaksakan kondisi tidak bias memerlukan penyesuaian bobot yang signifikan
Nilai ekstrim dapat mengindikasikan masalah dengan model variogram atau konfigurasi sampel

Pedoman Kontrol Kualitas [1]:

Nilai ideal: mendekati 0
Nilai yang dapat diterima: -0,5 hingga +0,5 (tergantung pada unit dan skala)
Nilai yang meragukan: |μ| > 1,0
Selidiki blok dengan nilai pengali Lagrange ekstrim untuk masalah potensial

6.1.4 Bobot Negatif

Definisi [1]: Bobot negatif terjadi ketika proses kriging menetapkan bobot negatif ke satu atau lebih sampel. Ini dapat terjadi dalam konfigurasi sampel tertentu, terutama ketika sampel berkerumun atau ketika model variogram memiliki efek nugget yang rendah.

Interpretasi [1]:

Bobot negatif tidak selalu bermasalah tetapi dapat mengindikasikan masalah potensial
Bobot negatif yang besar dapat menyebabkan estimasi yang tidak stabil atau tidak realistis
Bobot negatif lebih umum dengan efek nugget yang rendah atau sampel yang berkerumun

Pedoman Kontrol Kualitas [1]:

Jumlah bobot negatif: idealnya 0, dapat diterima jika <10% dari total sampel
Besaran bobot negatif: harus kecil (misalnya, >-0,2)
Selidiki blok dengan banyak atau bobot negatif besar untuk masalah konfigurasi

6.1.5 Conditional Bias Slope

Definisi [1]: Conditional bias slope adalah ukuran bias potensial dalam estimasi, menunjukkan seberapa baik estimasi memprediksi nilai sebenarnya secara rata-rata.

Formula [1]:

CBS = Σ λᵢ

Di mana λᵢ adalah bobot kriging.

Interpretasi [1]:

CBS ideal = 1,0 (tidak ada bias)
CBS < 1,0 mengindikasikan oversmoothing potensial (kadar tinggi underestimated, kadar rendah overestimated)
CBS > 1,0 mengindikasikan overestimation potensial
Penyimpangan dari 1,0 dapat mengindikasikan masalah dengan model variogram atau konfigurasi sampel

Pedoman Kontrol Kualitas [1]:

Nilai ideal: 1,0
Nilai yang dapat diterima: 0,9-1,1
Nilai yang meragukan: <0,8 atau >1,2
Selidiki blok dengan CBS ekstrim untuk bias potensial

6.1.6 Jarak ke Sampel Terdekat

Definisi [1]: Jarak dari pusat blok ke sampel terdekat yang digunakan dalam estimasi.

Interpretasi [1]:

Jarak yang lebih pendek mengindikasikan kepercayaan yang lebih tinggi
Jarak yang lebih panjang mengindikasikan kepercayaan yang lebih rendah
Berguna untuk klasifikasi sumber daya berbasis jarak

Penggunaan untuk Klasifikasi Sumber Daya [1]:

Measured: jarak pendek (misalnya, <50m)
Indicated: jarak sedang (misalnya, 50-100m)
Inferred: jarak panjang (misalnya, >100m)
Threshold spesifik harus ditentukan berdasarkan kepadatan bor dan karakteristik deposit

6.2 Klasifikasi Sumber Daya

Klasifikasi sumber daya mineral menjadi kategori measured, indicated, dan inferred adalah persyaratan penting untuk pelaporan sumber daya sesuai dengan standar internasional (misalnya, JORC, NI 43-101) [1], [2].

6.2.1 Pendekatan Berbasis Ordinary Kriging

Untuk estimasi Ordinary Kriging, klasifikasi sumber daya biasanya didasarkan pada kombinasi metrik kontrol kualitas [1]:

Kriteria Measured [1]:

Varians kriging rendah (misalnya, <threshold₁)
Efisiensi kriging tinggi (misalnya, >80%)
Jarak ke sampel terdekat pendek (misalnya, <50m)
Jumlah sampel informasi cukup (misalnya, ≥6)
Tidak ada bobot negatif yang signifikan
Pengali Lagrange mendekati nol
CBS mendekati 1,0

Kriteria Indicated [1]:

Varians kriging sedang (misalnya, threshold₁ – threshold₂)
Efisiensi kriging sedang (misalnya, 60-80%)
Jarak ke sampel terdekat sedang (misalnya, 50-100m)
Jumlah sampel informasi memadai (misalnya, 4-6)
Bobot negatif minimal
Pengali Lagrange dalam rentang yang dapat diterima
CBS dalam rentang yang dapat diterima

Kriteria Inferred [1]:

Varians kriging tinggi (misalnya, >threshold₂)
Efisiensi kriging rendah (misalnya, <60%)
Jarak ke sampel terdekat panjang (misalnya, >100m)
Jumlah sampel informasi minimal (misalnya, <4)
Metrik kontrol kualitas di luar rentang yang dapat diterima

6.2.2 Pendekatan Berbasis Indicator Kriging

Untuk estimasi Indicator Kriging, klasifikasi sumber daya dapat didasarkan pada probabilitas dan ketidakpastian [2]:

Kriteria Measured [2]:

Probabilitas tinggi melebihi cutoff ekonomis (misalnya, >80%)
Ketidakpastian rendah dalam estimasi probabilitas (varians kriging indikator rendah)
Interval kepercayaan sempit untuk nilai kadar yang diharapkan
Jarak ke sampel terdekat pendek
Jumlah sampel informasi cukup

Kriteria Indicated [2]:

Probabilitas sedang melebihi cutoff ekonomis (misalnya, 50-80%)
Ketidakpastian sedang dalam estimasi probabilitas
Interval kepercayaan sedang untuk nilai kadar yang diharapkan
Jarak ke sampel terdekat sedang
Jumlah sampel informasi memadai

Kriteria Inferred [2]:

Probabilitas rendah atau tidak pasti melebihi cutoff ekonomis (misalnya, <50%)
Ketidakpastian tinggi dalam estimasi probabilitas
Interval kepercayaan lebar untuk nilai kadar yang diharapkan
Jarak ke sampel terdekat panjang
Jumlah sampel informasi minimal

6.2.3 Pertimbangan Praktis

Kombinasi Kriteria [1], [2]:

Klasifikasi sumber daya harus didasarkan pada beberapa kriteria, bukan hanya satu metrik
Kriteria harus disesuaikan dengan karakteristik spesifik deposit
Threshold harus divalidasi melalui analisis sensitivitas dan perbandingan dengan data produksi (jika tersedia)

Dokumentasi [1], [2]:

Kriteria klasifikasi harus didokumentasikan dengan jelas dalam laporan sumber daya
Alasan untuk threshold spesifik harus dijelaskan
Sensitivitas klasifikasi terhadap perubahan threshold harus dinilai

Validasi [1], [2]:

Klasifikasi harus divalidasi melalui validasi silang
Perbandingan dengan data produksi (jika tersedia) harus dilakukan
Konsistensi dengan praktik industri dan standar pelaporan harus dipastikan

7. Pertimbangan Praktis

7.1 Persiapan Data

Validasi Database [1], [2]:

Pastikan database lubang bor lengkap dan akurat
Periksa collar, survey, dan tabel assay untuk kesalahan
Validasi koordinat dan elevasi
Periksa duplikat dan data yang hilang

Compositing [1], [2]:

Composite sampel ke panjang yang konsisten
Panjang composite harus sesuai dengan tinggi bench atau dimensi blok
Pertimbangkan kontrol geologis saat compositing
Dokumentasikan metode compositing

Penanganan Outlier [1], [2]:

Identifikasi outlier melalui analisis statistik
Pertimbangkan capping atau cutting nilai ekstrim
Dokumentasikan alasan dan metode untuk penanganan outlier
Evaluasi dampak outlier pada estimasi

7.2 Pemodelan Variogram

Perhitungan Variogram Eksperimental [1], [2]:

Gunakan jarak lag dan toleransi yang sesuai
Hitung variogram arah untuk mengidentifikasi anisotropi
Pastikan jumlah pair yang cukup untuk setiap lag
Pertimbangkan domain geologis saat menghitung variogram

Pencocokan Model [1], [2]:

Pasangkan model teoritis yang sesuai ke variogram eksperimental
Validasi kualitas pencocokan secara visual dan statistik
Pertimbangkan struktur bersarang jika diperlukan
Dokumentasikan parameter model dan asumsi

Validasi Model [1], [2]:

Lakukan validasi silang untuk memvalidasi model variogram
Bandingkan estimasi dengan nilai sebenarnya
Evaluasi bias dan akurasi
Sesuaikan model jika diperlukan

7.3 Pertimbangan Komputasi

Ukuran Model Blok [1], [2]:

Model blok besar dapat memerlukan waktu komputasi yang signifikan
Pertimbangkan estimasi dalam beberapa batch untuk model yang sangat besar
Optimalkan parameter pencarian untuk menyeimbangkan akurasi dan efisiensi

Jumlah Cutoff (Indicator Kriging) [2]:

Lebih banyak cutoff meningkatkan waktu komputasi secara linear
Batasi jumlah cutoff ke yang paling signifikan secara ekonomis atau geologis
Pertimbangkan trade-off antara resolusi dan efisiensi komputasi

Diskretisasi Blok [1], [2]:

Diskretisasi yang lebih tinggi meningkatkan akurasi tetapi meningkatkan waktu komputasi
Seimbangkan antara akurasi dan efisiensi
Untuk blok besar relatif terhadap range variogram, diskretisasi yang lebih tinggi mungkin diperlukan

7.4 Validasi

Validasi Silang [1], [2]:

Lakukan validasi silang untuk menilai akurasi estimasi
Bandingkan estimasi dengan nilai sampel sebenarnya
Evaluasi bias, akurasi, dan presisi
Sesuaikan parameter jika bias atau kesalahan yang signifikan terdeteksi

Validasi Visual [1], [2]:

Visualisasikan model blok dalam bagian dan rencana
Bandingkan dengan data lubang bor dan model geologis
Periksa kontinuitas dan pola yang realistis
Identifikasi anomali atau masalah

Perbandingan Metode [1], [2]:

Bandingkan hasil dari Ordinary Kriging dan Indicator Kriging
Bandingkan dengan metode estimasi lain (misalnya, Inverse Distance, Nearest Neighbor)
Evaluasi konsistensi dan perbedaan
Gunakan perbandingan untuk meningkatkan kepercayaan pada estimasi

7.5 Pelaporan

Dokumentasi [1], [2]:

Dokumentasikan semua aspek dari proses estimasi
Sertakan detail persiapan data, pemodelan variogram, parameter estimasi
Dokumentasikan kriteria klasifikasi sumber daya
Sediakan hasil validasi dan metrik kontrol kualitas

Kepatuhan terhadap Standar [1], [2]:

Pastikan estimasi dan klasifikasi mematuhi standar pelaporan yang relevan (misalnya, JORC, NI 43-101)
Sediakan semua informasi yang diperlukan untuk transparansi dan reproduktibilitas
Dokumentasikan asumsi, keterbatasan, dan ketidakpastian

Transparansi [1], [2]:

Sediakan informasi yang cukup untuk memungkinkan peer review dan audit
Dokumentasikan semua keputusan dan alasan
Sediakan akses ke data dan model untuk verifikasi

7.6 Masalah Umum dan Solusi

Masalah: Blok yang Tidak Diestimasi [1], [2]:

Penyebab: Tidak cukup sampel dalam radius pencarian, kriteria sampel minimum tidak terpenuhi
Solusi: Tingkatkan radius pencarian, kurangi jumlah sampel minimum, periksa kepadatan data

Masalah: Varians Kriging Negatif [1]:

Penyebab: Masalah dengan model variogram, diskretisasi blok yang tidak memadai
Solusi: Periksa dan sesuaikan model variogram, tingkatkan diskretisasi blok, periksa parameter anisotropi

Masalah: Bobot Negatif yang Berlebihan [1]:

Penyebab: Efek nugget yang rendah, sampel yang berkerumun, model variogram yang buruk
Solusi: Tingkatkan efek nugget, batasi sampel per lubang bor, sesuaikan model variogram

Masalah: Bias dalam Estimasi [1], [2]:

Penyebab: Model variogram yang buruk, penanganan outlier yang tidak memadai, asumsi stasioneritas yang dilanggar
Solusi: Validasi dan sesuaikan model variogram, tinjau penanganan outlier, pertimbangkan estimasi domain

Masalah: Waktu Komputasi yang Berlebihan [1], [2]:

Penyebab: Model blok yang sangat besar, jumlah sampel maksimum yang tinggi, diskretisasi yang tinggi
Solusi: Kurangi jumlah sampel maksimum, kurangi diskretisasi, estimasi dalam batch, optimalkan parameter pencarian

8. Glosarium Komprehensif

8.1 Konsep Variogram

Variogram [1], [2]: Fungsi yang menggambarkan variabilitas spasial dari variabel regionalized sebagai fungsi jarak dan arah. Variogram mengukur rata-rata perbedaan kuadrat antara nilai yang terpisah oleh vektor jarak tertentu.

Semi-Variogram [1]: Setengah dari rata-rata perbedaan kuadrat antara nilai yang terpisah oleh jarak tertentu. Sering disebut hanya sebagai “variogram” dalam praktik.

Nugget Effect [1], [2]: Diskontinuitas variogram pada asal (jarak nol), mewakili variabilitas skala mikro dan kesalahan pengukuran. Nilai nugget yang tinggi mengindikasikan variabilitas acak yang signifikan atau kesalahan pengukuran.

Sill [1], [2]: Nilai asimptotik dari variogram pada jarak besar, mewakili variabilitas maksimum. Sill biasanya mendekati varians populasi dari variabel.

Range [1], [2]: Jarak di mana variogram mencapai sill. Di luar range, sampel pada dasarnya tidak berkorelasi secara spasial. Range mendefinisikan “zona pengaruh” dari setiap sampel.

Variogram Eksperimental [1], [2]: Variogram yang dihitung langsung dari data sampel, menunjukkan variabilitas empiris sebagai fungsi jarak. Digunakan sebagai dasar untuk menyesuaikan model variogram teoritis.

Model Variogram Teoritis [1], [2]: Fungsi matematika (misalnya, spherical, exponential, Gaussian) yang dipasangkan ke variogram eksperimental. Model menyediakan fungsi kontinu yang dapat dievaluasi pada jarak apa pun.

Model Spherical [1], [2]: Model variogram umum dengan peningkatan linear pada jarak pendek dan pendekatan asimptotik halus ke sill. Cocok untuk banyak variabel geologis.

Model Exponential [1], [2]: Model variogram yang mendekati sill secara asimptotik tanpa pernah mencapainya. Range praktis biasanya didefinisikan sebagai jarak di mana 95% dari sill tercapai.

Model Gaussian [1], [2]: Model variogram dengan perilaku parabola di dekat asal, mengindikasikan kontinuitas spasial yang sangat halus. Kurang umum dalam aplikasi geologi.

Struktur Variogram Bersarang [1], [2]: Kombinasi dari beberapa model variogram (struktur) untuk menangkap variabilitas spasial pada skala yang berbeda. Misalnya, nugget + struktur spherical jarak pendek + struktur spherical jarak panjang.

8.2 Parameter Anisotropi

Anisotropi [1], [2]: Variasi dalam kontinuitas spasial dengan arah. Deposit mineral sering menunjukkan anisotropi karena kontrol geologis (misalnya, stratifikasi, struktur).

Anisotropi Geometris [1], [2]: Anisotropi di mana variogram memiliki sill yang sama di semua arah tetapi range yang berbeda. Ini adalah jenis anisotropi yang paling umum dalam aplikasi geologi.

Anisotropi Zonal [1], [2]: Anisotropi di mana variogram memiliki sill yang berbeda dalam arah yang berbeda. Kurang umum dan lebih sulit untuk dimodelkan.

Bearing [1], [2]: Arah azimut (dalam derajat dari utara) dari sumbu kontinuitas maksimum. Bearing mendefinisikan arah di mana variabel menunjukkan range terpanjang.

Plunge [1], [2]: Kemiringan vertikal (dalam derajat dari horizontal) dari sumbu kontinuitas maksimum. Plunge positif berarti menanjak, plunge negatif berarti menukik.

Dip [1], [2]: Rotasi tambahan (dalam derajat) untuk mendefinisikan orientasi tiga dimensi penuh dari ellipsoid anisotropi. Dip diterapkan setelah bearing dan plunge.

Rasio Anisotropi [1], [2]: Rasio range dalam arah minor relatif terhadap range dalam arah major. Rasio <1 mengindikasikan kontinuitas yang lebih rendah dalam arah minor.

Range Major Axis [1], [2]: Range dalam arah kontinuitas maksimum. Ini adalah sumbu terpanjang dari ellipsoid anisotropi.

Range Semi-Minor Axis [1], [2]: Range dalam arah kontinuitas menengah, tegak lurus terhadap sumbu major dalam bidang horizontal. Biasanya lebih pendek dari range major axis.

Range Semi-Vertical Axis [1], [2]: Range dalam arah vertikal. Biasanya yang terpendek karena kontinuitas vertikal yang lebih rendah dalam banyak deposit.

8.3 Perhitungan Kriging

Bobot Kriging [1], [2]: Koefisien yang diterapkan pada setiap sampel dalam perhitungan rata-rata tertimbang kriging. Bobot ditentukan dengan memecahkan sistem persamaan kriging untuk meminimalkan varians estimasi.

Sistem Persamaan Kriging [1]: Sistem persamaan linear yang dipecahkan untuk menentukan bobot kriging. Sistem menggabungkan kondisi tidak bias (jumlah bobot = 1) dan minimisasi varians.

Kondisi Tidak Bias [1]: Kendala bahwa jumlah bobot kriging harus sama dengan 1, memastikan bahwa estimasi tidak bias (nilai yang diharapkan dari kesalahan estimasi adalah nol).

Minimisasi Varians [1]: Prinsip bahwa bobot kriging dipilih untuk meminimalkan varians kesalahan estimasi, tunduk pada kondisi tidak bias.

Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) [1]: Ordinary Kriging menyediakan estimator linear terbaik yang tidak bias, artinya ini adalah estimator linear yang tidak bias dengan varians kesalahan minimum.

Pengali Lagrange [1], [2]: Parameter yang diperkenalkan dalam sistem persamaan kriging untuk memaksakan kondisi tidak bias. Nilai pengali Lagrange menyediakan informasi tentang seberapa mudah kondisi tidak bias terpenuhi.

Kovarians [1]: Ukuran korelasi spasial antara dua lokasi. Kovarians terkait dengan variogram oleh: C(h) = C(0) – γ(h), di mana C(0) adalah varians dan γ(h) adalah variogram.

Jarak Anisotropik [1], [2]: Jarak yang disesuaikan dengan anisotropi yang digunakan dalam perhitungan variogram dan kriging. Jarak Euclidean diubah menjadi jarak anisotropik dengan menerapkan rasio anisotropi dan rotasi.

8.4 Parameter Pencarian

Ellipsoid Pencarian [1], [2]: Volume pencarian tiga dimensi yang diorientasikan untuk mencocokkan anisotropi geologis. Sampel dalam ellipsoid dianggap informatif untuk estimasi blok target.

Pencarian Octant [1], [2]: Metode pencarian yang membagi ruang di sekitar blok target menjadi delapan octant dan memilih sampel dari setiap octant. Memastikan distribusi spasial sampel yang seimbang.

Radius Pencarian Maksimum [1], [2]: Jarak maksimum dari pusat blok di mana sampel dianggap informatif. Sampel di luar radius ini diabaikan.

Jarak Pencarian Vertikal Maksimum [1], [2]: Pembatasan terpisah pada pencarian vertikal untuk menghormati kontrol stratigrafis atau geologis. Dapat berbeda dari radius pencarian horizontal maksimum.

Jumlah Sampel Minimum [1], [2]: Jumlah minimum sampel informasi yang diperlukan untuk memperkirakan blok. Blok dengan sampel lebih sedikit dibiarkan tidak diestimasi.

Jumlah Sampel Maksimum [1], [2]: Jumlah maksimum sampel untuk digunakan dalam estimasi. Membatasi waktu komputasi dan pengaruh sampel yang jauh.

Sampel Maksimum per Lubang Bor [1], [2]: Batas pada jumlah sampel dari satu lubang bor yang dapat digunakan dalam estimasi. Mencegah dominasi dari satu lubang bor.

Sampel Informasi [1], [2]: Sampel yang berada dalam ellipsoid pencarian dan memenuhi semua kriteria pemilihan (misalnya, domain yang cocok, dalam radius pencarian). Ini adalah sampel yang digunakan dalam estimasi kriging.

8.5 Istilah Indicator Kriging

Transformasi Indikator [2]: Proses mengubah data kadar kontinu menjadi variabel indikator biner (0 atau 1) berdasarkan nilai cutoff. I(x; zc) = 1 jika z(x) ≤ zc, 0 sebaliknya.

Variabel Indikator [2]: Variabel biner (0 atau 1) yang dibuat dari data kontinu melalui transformasi indikator. Mewakili apakah nilai pada lokasi tertentu di bawah atau di atas cutoff.

Cutoff [2]: Nilai ambang batas yang digunakan untuk mentransformasi data kontinu menjadi indikator biner. Biasanya mewakili kadar cutoff ekonomis atau batas geologis yang signifikan.

Variogram Indikator [2]: Variogram yang dihitung untuk variabel indikator pada cutoff tertentu. Menangkap kontinuitas spasial dari indikator, yang dapat berbeda dari kontinuitas kadar.

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) [2]: Fungsi yang mewakili probabilitas bahwa nilai kadar sebenarnya kurang dari atau sama dengan setiap cutoff. Indicator Kriging memperkirakan CDF pada setiap lokasi blok.

Probabilitas Cutoff [2]: Probabilitas yang diestimasi bahwa nilai kadar sebenarnya di bawah (atau di atas) cutoff tertentu. Output utama dari Indicator Kriging.

Nilai yang Diharapkan [2]: Nilai kadar yang diharapkan yang dihitung dari probabilitas cutoff melalui integrasi numerik. Dapat digunakan untuk pelaporan sumber daya standar.

Order-Relation Correction [2]: Prosedur untuk memastikan bahwa probabilitas yang diestimasi untuk cutoff yang berbeda konsisten (yaitu, probabilitas meningkat secara monotonik dengan cutoff). Kadang-kadang diperlukan untuk memperbaiki inkonsistensi dalam estimasi probabilitas.

8.6 Istilah Umum

Model Blok [1], [2]: Representasi tiga dimensi dari deposit mineral sebagai array blok reguler, masing-masing dengan atribut yang diestimasi (misalnya, kadar, klasifikasi sumber daya).

Diskretisasi Blok [1], [2]: Proses membagi setiap blok menjadi beberapa sub-blok untuk meningkatkan akurasi estimasi. Estimasi kriging dilakukan pada setiap sub-blok dan dirata-ratakan untuk mendapatkan nilai blok.

Composite [1], [2]: Sampel dengan panjang yang konsisten yang dibuat dengan menggabungkan atau membagi sampel assay asli. Compositing memastikan bahwa semua sampel memiliki support yang sama untuk analisis geostatistik.

Support [1], [2]: Volume atau ukuran sampel atau blok. Perubahan dalam support mempengaruhi varians dan distribusi nilai kadar.

Efek Support [1]: Pengurangan varians yang terjadi ketika meningkatkan support (misalnya, dari sampel titik ke blok). Blok yang lebih besar memiliki varians yang lebih rendah daripada blok yang lebih kecil atau sampel titik.

Stasioneritas [1]: Asumsi bahwa sifat statistik dari variabel (misalnya, mean, varians) konstan di seluruh area studi. Ordinary Kriging mengasumsikan stasioneritas intrinsik (mean konstan tetapi tidak diketahui).

Variabel Regionalized [1], [2]: Variabel yang menunjukkan korelasi spasial, artinya nilai pada lokasi yang berdekatan cenderung lebih mirip daripada nilai pada lokasi yang jauh. Kadar mineral adalah contoh variabel regionalized.

Smoothing Effect [1]: Kecenderungan kriging untuk menghaluskan nilai yang diestimasi, menghasilkan kadar tinggi yang underestimated dan kadar rendah yang overestimated. Ini adalah karakteristik inheren dari estimator rata-rata tertimbang.

Validasi Silang [1], [2]: Teknik validasi di mana setiap sampel sementara dihapus dari dataset, nilai pada lokasi sampel diestimasi menggunakan sampel yang tersisa, dan estimasi dibandingkan dengan nilai sampel sebenarnya. Menyediakan ukuran akurasi estimasi.

Classified Resources [1], [2]: Sumber daya mineral yang dikategorikan menjadi measured, indicated, dan inferred berdasarkan kepercayaan estimasi, sesuai dengan standar pelaporan internasional (misalnya, JORC, NI 43-101).

Measured Resources [1], [2]: Sumber daya dengan tingkat kepercayaan tertinggi, berdasarkan data yang rinci dan andal. Estimasi didasarkan pada konfigurasi sampel yang baik dengan ketidakpastian rendah.

Indicated Resources [1], [2]: Sumber daya dengan tingkat kepercayaan sedang, berdasarkan data yang memadai. Estimasi didasarkan pada konfigurasi sampel yang wajar dengan ketidakpastian sedang.

Inferred Resources [1], [2]: Sumber daya dengan tingkat kepercayaan terendah, berdasarkan data yang terbatas. Estimasi didasarkan pada konfigurasi sampel yang jarang dengan ketidakpastian tinggi.

Domain Geologis [1], [2]: Zona atau unit geologis yang berbeda dalam deposit mineral. Estimasi sering dilakukan secara terpisah untuk setiap domain untuk menghormati batas geologis.

Hard Boundaries [1], [2]: Batas domain di mana estimasi tidak diperbolehkan menggunakan sampel dari domain yang berbeda. Digunakan ketika domain mewakili unit geologis yang sangat berbeda.

Soft Boundaries [1], [2]: Batas domain di mana estimasi dapat menggunakan sampel dari domain yang berdekatan, dengan bobot yang disesuaikan berdasarkan jarak ke batas. Digunakan ketika domain menunjukkan transisi gradual.

Kepadatan Bor [1], [2]: Jumlah lubang bor per unit area atau volume. Kepadatan bor yang lebih tinggi menghasilkan kepercayaan estimasi yang lebih tinggi dan varians kriging yang lebih rendah.

Spasi Bor [1], [2]: Jarak rata-rata antara lubang bor. Spasi bor yang lebih ketat meningkatkan kepercayaan estimasi dan mendukung klasifikasi sumber daya yang lebih tinggi.

9. Kesimpulan

Ordinary Kriging dan Indicator Kriging mewakili dua pendekatan fundamental untuk estimasi sumber daya mineral, masing-masing dengan kekuatan spesifik dan aplikasi yang sesuai. Ordinary Kriging menyediakan estimasi nilai tunggal yang efisien yang cocok untuk pemodelan sumber daya standar dan pelaporan, menghasilkan estimator linear terbaik yang tidak bias yang meminimalkan varians estimasi [1]. Implementasinya di Surpac relatif sederhana, memerlukan definisi model variogram tunggal dan satu set parameter anisotropi [1].

Indicator Kriging menawarkan pendekatan yang lebih canggih dengan mentransformasi data kontinu menjadi indikator biner dan memperkirakan distribusi probabilitas daripada nilai tunggal [2]. Metode ini unggul ketika berhadapan dengan distribusi yang miring, populasi ganda, atau ketika kuantifikasi ketidakpastian sangat penting [1]. Meskipun lebih intensif secara komputasi, memerlukan model variogram terpisah untuk setiap cutoff [4], Indicator Kriging menyediakan informasi yang lebih kaya tentang ketidakpastian kadar dan probabilitas melebihi ambang batas yang signifikan secara ekonomis [2].

Kedua metode berbagi metodologi pencarian umum dan parameter pemilihan sampel [6], [7], [8], tetapi berbeda secara fundamental dalam penanganan data, jenis output, dan kesesuaian untuk skenario geologis dan ekonomis yang berbeda. Pemilihan antara metode harus dipandu oleh karakteristik data, tujuan estimasi, dan persyaratan pelaporan. Dalam praktiknya, kedua metode sering digunakan secara komplementer: Ordinary Kriging untuk menghasilkan model blok estimasi terbaik untuk pelaporan sumber daya, dan Indicator Kriging untuk penilaian ketidakpastian dan analisis risiko.

Implementasi yang sukses dari kedua metode di Surpac memerlukan perhatian yang cermat terhadap prasyarat, konfigurasi parameter, dan kontrol kualitas. Prosedur langkah-demi-langkah yang komprehensif dan pedoman parameter yang disediakan dalam artikel ini memungkinkan praktisi untuk mengimplementasikan kedua metode secara efektif, sementara glosarium ekstensif mendukung pemahaman konsep geostatistik yang mendasarinya. Penerapan yang tepat dari metode-metode ini, dikombinasikan dengan validasi dan dokumentasi yang menyeluruh, memastikan estimasi sumber daya yang andal yang memenuhi standar pelaporan industri dan mendukung pengambilan keputusan yang tepat dalam pengembangan sumber daya mineral.

Referensi

[1] Perbandingan Komprehensif: Ordinary Kriging vs. Indicator Kriging. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[2] Penjelasan Indicator Kriging. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[3] Form Parameter Variogram IK. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[4] Parameter Anisotropi dan Variogram IK. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[5] Parameter Pencarian dan Estimasi IK. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[6] Metode Pencarian – Ellipsoid dan Octant. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[7] Parameter Pemilihan Sampel. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[8] Sampel Minimum dan Maksimum. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[9] Radius Pencarian Maksimum. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[10] Jarak Pencarian Vertikal Maksimum. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[11] Kendala Lubang Bor. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[12] Atribut Estimasi – Pengali Lagrange. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[13] Jarak ke Sampel Terdekat dan Kemiringan Bias Kondisional. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[14] Atribut Jarak Rata-rata. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[15] Jumlah Bobot Negatif. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[16] Konfigurasi Radius Pencarian. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[17] Parameter Variogram – Nugget, Sill, Range. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[18] Rasio Anisotropi. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[19] Perhitungan Varians Blok. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[20] Perhitungan Jarak Anisotropik. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[21] Definisi Sampel Informasi. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[22] Interpretasi Pengali Lagrange. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[23] Formula Varians Kriging. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[24] Interpretasi Varians Kriging. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[25] Varians Kriging Negatif. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[26] Efisiensi Kriging. Dokumentasi GEOVIA Surpac.

[27] Formula Kemiringan Bias Kondisional. Dokumentasi GEOVIA Surpac.